ГОТОВИМСЯ к ГИА 9

Треугольник

- Треугольник  - геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки —сторонами треугольника.

- Сумма углов треугольника: 180 градусов

- Виды треугольников:

- По углам - остроугольные; прямоугольные; тупоугольные

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

- По сторонам -  равносторонние; равнобедренные; разносторонние.

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны и углы при основании.В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой.

Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину

- Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

 - Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

- Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников:

1 признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2 признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3 признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников:
 Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
- Свойства внешнего угла

1. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним.

2. Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине равна 180 градусов.

3. Сумма внешних углов треугольник взятых по одному при каждой вершине равна 360 градусов.

4.Внешние углы при одной вершине треугольника равны между собой (как вертикальные).

- Свойства прямоугольного треугольника:

 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3.Теорема Пифагора. c2 = a2 + b2 – т.е.: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. 

4. Площадь S прямоугольного треугольника с катетами a,b: S= ab : 2

5. Высота h прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты a;b  и гипотенузу C следующим образом:

h= ab:c

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус R описанной окружности есть половина гипотенузы C:

R=c:2

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Средняя линия треугольника:

Средняя линия треугольника— это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.MN — средняя линия треугольника ABC.

 средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:

Синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус угла (sin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cos α) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

-Окружность и круг

Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется "радиус"

Внутренняя часть окружности, включающая саму окружность, называется кругом.

Точка O — это центр и круга, и окружности.

Отрезки OA, OB, и OC — это радиусы, их длины равны.

Отрезок AB, проходящий через центр окружности (круга), называется диаметром и обозначается буквой D.

Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность — на две полуокружности.

Длина диаметра равна длине двух радиусов D=2R.

Дуга окружности — это часть окружности, ограниченная двумя точками.

Хорда окружности — отрезок, соединяющий две любые её точки.

Диаметр окружности — это хорда, которая проходит через центр окружности.

Любая хорда окружности не превышает её диаметра.

- Описанная окружность

Описанная около выпуклого многоугольника окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Многоугольник, около которого описана окружность, называется вписанным.

Центр описанной окружности равноудалён от вершин многоугольника.

Расстояние от центра до любой вершины многоугольника равно радиусу описанной окружности.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. В любой правильный многоугольник также можно вписать окружность. Центр вписанной и описанной окружности лежат в центре правильного многоугольника.

задание на клетчатой решётке